Enerji Minimumuna Giden Yol: Geometri Optimizasyonunun Temelleri

Moleküler modelleme çalışmalarında bir yapıya ait fiziksel davranışların, gerçeğe yakın bir şekilde yansıtabilmesi için ilk adım yapının enerjice en kararlı hâline getirilmesidir. Bu süreç, geometri optimizasyonu olarak adlandırılır ve molekülün atomlarının uzaydaki konumlarının, sistemin potansiyel enerjisini minimize edecek şekilde yeniden düzenlenmesini sağlar. İster küçük organik bileşiklerle ister büyük biyomoleküllerle çalışıyor olun, başarılı bir moleküler dinamik simülasyonu ya da kuantum kimyasal hesaplama için optimize edilmiş bir yapı şarttır. Bu yazıda, geometri optimizasyonunun temel prensipleri ve kullanılan algoritmalar ele alınacaktır.

Potansiyel enerji yüzeyinde (PES) (PES hakkında detay için yazımıza bakabilirsiniz) bir durağan noktanın belirlenmesi (“yerinin saptanması” ya da “konumlandırılması”), yani söz konusu noktanın varlığının gösterilmesi ve bu noktanın geometrisi ile enerjisinin hesaplanması, geometri optimizasyonu olarak adlandırılmaktadır. İlgilenilen durağan nokta bir minimum, bir geçiş durumu (transition state) ya da nadiren daha yüksek mertebeden bir eyer noktası (saddle point) olabilir. Bir minimumun bulunması genellikle enerji minimizasyonu ya da kısaca minimizasyon olarak adlandırılırken, bir geçiş durumunun bulunması özel olarak geçiş durumu optimizasyonu olarak anılmaktadır (1).

Şekil 1. Bir minimuma yönelik geometri optimizasyonu, girdi yapısına en yakın minimumu verir. Giriş yapısı A’, minimum nokta A’ya doğru hareket ettirilir; benzer şekilde B’ da B’ye doğru ilerler. Bir geçiş durumunun (transition state) bulunması için ise genellikle özel bir algoritma kullanılır: bu algoritma, başlangıç yapısı A’ yı geçiş durumu olan TS’ye doğru hareket ettirir (1).

Girdi yapısından potansiyel enerji yüzeyinde (PES) en yakın minimuma doğru ilerlemek, iki atomlu (diatomik) bir molekülün bir boyutlu PES’i söz konusu olduğunda elbette oldukça basittir. Sadece bağ uzunluğu değiştirilerek en düşük enerjiye karşılık gelen değer bulunur. Ancak başka herhangi bir yüzeyde, verimli bir geometri optimizasyonu için sofistike bir algoritma gerekmektedir. Hangi yönde hareket edileceği ve bu yönde ne kadar ilerlenmesi gerektiği bilinmek istenir. Genel olarak, girdi yapısından doğrudan tek bir adımda en yakın minimuma ulaşmak mümkün değildir ancak modern geometri optimizasyon algoritmaları, makul bir başlangıç geometrisi verildiğinde, genellikle yaklaşık on adımda minimum noktaya ulaşır (1). Geometri optimizasyonunda en yaygın kullanılan algoritmalar (2), enerjinin geometrik parametrelere göre birinci ve ikinci türevlerini kullanmaktadır.

Şekil 2. Kimyasal moleküllerin geometri optimizasyonunu temsil eden bir görsel. (Görsel, yapay zeka kullanılarak oluşturulmuştur)

Geometri Optimizasyonunda Yaygın Kullanılan Yöntemler

Newton-Raphson-Simpson-Fourier Yöntemi

Newton yöntemi, doğrusal olmayan bir denklem sistemi f(x) = 0'ı çözmek veya çok değişkenli bir fonksiyon f(x)'i en aza indirmek için kullanılan klasik bir yinelemeli şemadır. Bu kök bulma ve eniyileme problemleri birbiriyle yakından ilişkilidir. Her ne kadar yöntem genellikle Newton’a ya da Newton ve Raphson’a atfedilse de Fourier ve Simpson da bu yönteme önemli katkılar yapmıştır.

Tek boyutlu bir f(x) fonksiyonunun eniyilenmesi (minimizasyonu) için Newton yönteminin yineleme sürecini türetmek amacıyla, doğrusal (lineer) bir yaklaşım yerine kuadratik (ikinci dereceden) bir yaklaşım kullanılmaktadır (3).

f(xₖ) sabit olduğundan, denklemin sağ tarafındaki ikinci ve üçüncü terimlerin en aza indirilmesi, şu yineleme sürecini verir:

Bu Newton şeması, f(x) fonksiyonunu en aza indirmek için tanımlıdır; yeter ki xₖ noktasındaki ikinci türev sıfır olmasın.

Quasi-Newton (QN) Yöntemi

QN (quasi-Newton) yöntem, Hessian matrisini kullanmaktan kaçınır bunun yerine algoritma ilerledikçe eğrilik (curvature) bilgisini oluşturur. Uygulamada genellikle doğrudan Hessian yerine Hessian’ın tersi (Bᵇ) güncellenir; böylece aşağıdaki denklemdeki Hₖ⁻¹ gₖ terimi yerine Bᵇₖ gₖ kullanılır. Burada Bᵇₖ, Bᵇ(xₖ) ifadesinin kısaltmasıdır.

Hessian yaklaşımı olan Bₖ, quasi-Newton koşulunu sağlamak üzere türetilir. QN yöntemlerinin farklı varyantları, bu koşulu sağlayan farklı formüller tanımlar. Büyük ölçekli uygulamalarda bellek kritik bir kaynak olduğundan, Bₖ ya da Bᵇ matrisi doğrudan n × n boyutlu bir matris olarak saklanmaz; bunun yerine birkaç vektörel işlem ile ifade edilir. Uygulamada Bₖ, düşük dereceli bir güncelleme matrisi Uₖ eklenerek güncellenir (3).

Conjugate Gradient (CG) Yöntemi

Doğrusal olmayan konjüge gradyan (nonlinear CG) yöntemleri, bellek kullanımı ve hesaplama performansının önemli olduğu büyük ölçekli problemler için yaygın olarak kullanılan bir diğer optimizasyon yaklaşımıdır. Bu yöntemler ilk olarak 1960’larda, doğrusal CG yöntemi (A matrisi n × n boyutunda olan Ax = b doğrusal sistemini çözmek için kullanılan yinelemeli bir teknik) ile line-search (doğrultu boyunca eniyileme) tekniklerinin birleştirilmesiyle geliştirilmiştir. Doğrusal olmayan konjüge gradyan (nonlinear CG) yönteminin her adımında, pₖ arama vektörü, özyinelemeli (rekürsif) bir formülle tanımlanır. Daha sonra bir doğrultu boyunca eniyileme (line search) işlemi uygulanır. Arama vektörlerini tanımlayan yineleme süreci aşağıdaki şekilde verilir:

Burada p₀ = −g₀ olarak alınır. Arama vektörlerini tanımlayan ve yönteme bağlı olan βₖ parametresi, şöyle seçilir: Eğer f, konveks bir kuadratik fonksiyon olsaydı ve doğrultu boyunca eniyileme (line search) işlemi tam olarak yapılsaydı (yani, xₖ + λₖpₖ, pₖ doğrultusunda f fonksiyonunu tam olarak minimize etseydi), bu durumda yöntem, doğrusal CG (conjugate gradient) yöntemine indirgenirdi. Bu özel durumda doğrusal CG yöntemine indirgenmesi önemlidir çünkü doğrusal CG yönteminin tam aritmetik altında en fazla n adımda sonlandığı bilinmektedir (3).

Steepest Descent Yöntemi

Klasik en dik iniş (steepest descent) yöntemi, genel bir doğrusal olmayan fonksiyonun eniyilemesi için en eski yöntemlerden biridir (4). Steepest Descent yöntemi, aynı zamanda gradyan inişi (gradient descent) yöntemi olarak da bilinir ve ilk kez Cauchy tarafından (5) önerilmiştir. İlk makalesinde, Cauchy, aşağıdaki formdaki doğrusal olmayan bir denklemi çözmenin bir yolu olarak gradyanın kullanılmasını önermiştir:

Burada f, negatif olmayan ve en azından belirli sınırlar içinde sürekli kalan bir reel değerli sürekli fonksiyondur. Yöntemin temeli, sürekli bir fonksiyonun, en azından başlangıçta, negatif gradyan doğrultusunda bir adım atıldığında azalması gerektiği basit gözlemine dayanır. Tek zorluk, hangi adım uzunluğunun seçileceğine karar vermektir.

Bu, konveks kuadratik fonksiyonlar gibi özel durumlar için kolayca hesaplanabilirken, genel durumda genellikle söz konusu fonksiyonun negatif gradyan doğrultusunda eniyilemesi gerekir. Basit olmasına rağmen, en dik iniş (steepest descent) yöntemi, optimizasyon teorisinin gelişiminde önemli bir rol oynamıştır. Ne yazık ki, bu yöntem çoğu gerçek dünya problemlerinde oldukça yavaş olduğu için yaygın olarak kullanılmamaktadır. Bunun yerine, daha güçlü yöntemler olan konjüge gradyan yöntemi veya quasi-Newton yöntemleri sıkça kullanılmaktadır (4).

Geometri optimizasyonu, moleküler modelleme süreçlerinin temel taşlarından biridir ve simülasyonların doğruluğunu artıran önemli bir adımdır. Moleküllerin kararlı yapılarını elde etmek, sadece teorik hesaplamalar için değil aynı zamanda pratik uygulamalar için de büyük önem taşır. Bu süreç, daha doğru enerji hesaplamaları, dinamik simülasyonlar ve moleküler etkileşim analizleri için sağlam bir temel sağlar. Geometri optimizasyonu, özellikle karmaşık sistemlerle çalışırken doğru sonuçlar elde etmek için kritik bir rol oynar. Bu yazıda ele alınan temel ilkeler ve yöntemler, araştırmacılara ve modelleme meraklılarına daha verimli ve doğru simülasyonlar yapma konusunda rehberlik etmeyi amaçlamaktadır.

Referanslar:

1. Errol G. Lewars. (2016). Computational Chemistry: Introduction to the Theory and Applications of Molecular and Quantum Mechanics. Springer.

2. Cramer C. (2004). Essentials of computational chemistry. Wiley.

3. Schlick, T. (2010) Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide. 2nd Edition, Springer, Berlin. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6351-2 

4. Meza, J. C. (2010). Steepest descent. Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, 2(6), 719-722. https://doi.org/10.1002/wics.117 

5. Cauchy, A. (1847). Méthode générale pour la résolution des systemes d’équations simultanées. Comp. Rend. Sci. Paris, 25(1847), 536-538.